Pierre de Fermat

Pierre de Fermat nació en  Francia en el 1601 y falleció en el mismo país en el 1665.

Fermat fue junto con René Descartes uno de los principales matemáticos de la primera mitad del siglo XVII, además de su oficio de jurista.

Descubrió el cálculo diferencial antes que Newton y Leibniz, fue cofundador de la teoría de probabilidades junto a Blaise Pascal e independientemente de Descartes, descubrió el principio fundamental de la geometría analítica. Sin embargo, es más conocido por sus aportaciones a la teoría de números en especial por el conocido como último teorema de Fermat, que preocupó a los matemáticos durante aproximadamente 350 años, hasta que fue demostrado en 1995 por Andrew Wiles y Richard Taylor.

 

Algunas de sus aportaciones a las matemáticas fueron:

• La espiral de Fermat:

También conocida como espiral parabólica, es una curva que responde a la siguiente ecuación en coordenadas polares:

       

• Números amigos

Felmet descubrió que 17.296 y 18.416 eran una pareja de números amigos, además de redescubrir una fórmula general para calcularlos, conocida por Tabit ibn Qurra.

(Los números amigos son aquellos en los que la suma de los divisores de uno es el otro. Por ejemplo:

220 = 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284

284 = 1+2+4+71+142 = 220  )

• Teorema sobre la suma de los cuadrados.

El teorema sobre la suma de dos cuadrados afirma que todo número primo p, tal que p-1 es divisible entre 4, se puede escribir como suma de dos cuadrados.

• Pequeño teorema de Fermat

Este teorema dice que si se eleva un número a, a la p-ésima potencia y al resultado se le resta a, lo que queda es divisible por p, siendo p un número primo. Su interés principal está en su aplicación al problema de la primalidad y en criptografía.

• Último teorema de Fermat.

Fue el más importante. Éste dice que si n es un número entero mayor que 2, entonces no existen números enteros positivos x, y y z, tales que se cumpla la igualdad:

 

 Este teorema  tiene gran importancia en criptografía, en el diseño de pantallas acústicas y en la comunicación con sondas espaciales lejanas. Pero lo más importante, motivó a muchos matemáticos a tratar de resolverla (porque su enunciado es muy sencillo y sorprendente) y en esos intentos se crearon montones de Matemáticas nuevas.

Las Matemáticas y la Magia

Chistera y varita mágica

Muchos de nosotros nos sorprendemos cuando un mago adivina nuestra carta o juega con nosotros haciendo que se nos quede la boca abierta y cara de tontos. Este enigmático y difícil mundo de la Magia no se limita solo a meros juegos de manos, de cartas o a sacar un conejo de una chistera. No, es mucho más complejo y con una gran carga matemática.

La Magia y las Matemáticas han venido estrechamente ligadas desde tiempos antiquísimos. Los magos han echado mano de las matemáticas para hacer disfrutar a niños y a no tan niños. Permitdme que juegue ahora con todos vosotros: 

• Pensad un número. ¿Ya lo tenéis?, pues bien, multiplicarlo por dos. A continuación sumar diez al resultado. Divididlo entre dos, y para acabar, restarle el número pensado. Bien, ¿fácil no?, pues ahora viene lo bueno del truco....... ¿ a que vuestro resultado es el cinco?

Seguramente estéis "anonadados" ante este truco de magia, pero si lo pensáis bien, ¿qué es lo único que habéis hecho? ¿Acaso no habéis aplicado las cuatro operaciones básicas que nos han enseñado en el colegio? En este truco solo hemos aplicado operaciones muy sencillas, pero hay otros más complejos:

• Tenéis que escribir un número de tres cifras. Después volvéis a escribir el mismo número, obteniendo así un número de seis cifras. El número obtenido es múltiplo de siete, de once y de trece. Después de dividir el número entre esos tres divisores..........¡tachan! aparece el número de tres cifras del principio.

En este ejemplo, se utilizan descomposiciones de factores primos que comparten la sorpresa con la estética de los resultados: no todo el mundo sabe que los números 3,7,11,13 y 37, son los factores primos de 111111. Tampoco solemos tener en cuenta que si multiplicamos un número de tres cifras por 1001 se obtiene el mismo número dos veces.

Indaguemos un poco en la historia de esta relación Matemáticas-Magia, Magia-Matemáticas. Como casi todo relacionado con la razón y el conocimiento, tiene un primer momento en la Antigua Grecia. En la época de los pitagóricos, los números se relacionaban más con cualidades místicas que con el ilusionismo. Los primeros descubrimientos sobre los números y su propiedades, propiciaron  la atribución de ciertos poderes mágicos a los números. Aunque con avances posteriores fuimos desechando esos poderes de los números.

A lo largo del siglo XIX, un señor llamado Charles Dogson (también conocido como Lewis Carroll) ya realizaba trucos y puzzles numéricos utilizados hoy en día. En el siglo XX, empezaron a cobrar importancia  los juegos con cartas. 

En lo que se refiere a la recopilación de efectos basados en principios matemáticos (matemagia), podemos destacar como referencias históricas los libros de Martin Gardner, publicado en 1956, y de William Simon en 1964. Otros magos que se han destacado por sus aportaciones a la magia matemática son Karl Fulves y Bob Longe. Hoy en día, casi ningún autor de literatura mágica se resiste a publicar algún libro basado en propiedades matemáticas, pues no requieren habilidad técnica pero sí una cuidada presentación que logre crear un ambiente de incredulidad en los espectadores.

En la actualidad, podemos encontrar multitud de trucos de magia en los que se usan las matemáticas. Los más famosos son los de las cartas, que también utilizan matemáticas.Pero os voy a explicar uno de los más famosos y utilizados, este cuadro mágico:

Esta disposición de números recibe este nombre porque la suma de los números que están en la misma fila, la de los que están en la misma columna y la de los de la misma diagonal es siempre 15.

Esta matriz es bastante conocida por lo que su aparición no causa sorpresa al efectuar con ella algún entretenimiento mágico. Por ello, los magos con algún conocimiento matemático utilizan variantes menos conocidas que resulten más mágicas.

Aunque se podría hablar largo y extendido sobre este tema, pues hay muchos trucos matemáticos y muchas explicaciones matemáticas, no quiero aburriros con cientos de trucos a los que no saquéis provecho, y prefiero dejaros algo sencillo con su explicación. Ahora solo falta que los pongáis en práctica. A partir de ahora, espero que cuando os hagan un truco de magia, no penséis en lo chulo que le ha quedado, sino en las matemáticas que ha utilizado (ya sea en las cartas, en la adivinación de un número...). Pero ojo, no todo lo que nos hacen es magia.

No todo es magia

Si os interesa la magia, visitad: http://magiaymatematicas.blogspot.com.es/ 

Grandes disputas

DISPUTAS ENTRE GRANDES MATEMÁTICOS.

Durante la historia de las matemáticas, hubo dos grandes matemáticos que llegaron a las mismas conclusiones, cada uno en su país, los matemáticos fueron Newton y Leibnitz.

Newton, desde Inglaterra, inventa el cálculo, pero tenía un pequeño problema, él era muy envidioso y no quería que nadie le aventajara en sus teorías, por lo que se guardaba sus avances para él mismo. Lamentablemente para él, el alemán Leibnitz estaba llegando a las mismas conclusiones simultáneamente, publicando sus resultados antes que Newton, este hecho hizo que este matemático se molestara mucho, pensando que sus ayudantes lo habían traicionado. Lo que provoca complicaciones entre estos dos países, ya que querían ganar el mérito del descubrimiento y avance del cálculo, lo que hoy es el cálculo diferencial y el integral. Hoy en día se sabe que Newton comenzó sus cálculos antes, pero Leibnitz los publicó antes, así como también que ninguno se basó en el trabajo del otro, porque utilizaban notaciones distintas.

Isaac Newton: Físico, filósofo, teólogo, inventor, alquimista y matemático inglés.

Gottfried Leibniz: Filósofo, lógico, matemático, jurista, bibliotecario y político alemán.

 

Stanley Kubrick, un punto de vista.

Todo buen fanático del cine que haya visto La naranja mecánica, recordará su sobrecogedor inicio, Alex y los drugos sentados en el fondo del bar "Lacteo Korova" mientras la cámara va abriendo plano lentamente. 

Al igual que a todo aficionado del cine de terror, le sonará la mítica secuencia del Resplandor del pobre Danny recorriendo con su triciclo el laberinto de pasillos del hotel Overlook hasta encontrarse con las gemelas.

Pues bien, tanto estas dos escenas, como la gran mayoría de las de los largometrajes de Kubrick, tienen algo en común: el plano es un punto de fuga. 

El director utiliza este recurso geométrico para que el espectador se centre en la parte central de la pantalla, y vea como la secuencia se va fundiendo en el infinito. Este cineasta, usa estos  planos para darle más énfasis a la escena, y los suele emplear en momentos importantes o decisivos de sus películas.

Entre sus títulos más famosos destacan 2001: Una odisea en el espacio (1968), La Naranja Mecánica (1971), El resplandor (1980) o La chaqueta metálica (1987). En el siguiente vídeo, se pueden algunas de las escenas de estas películas que incluyen el plano del punto de fuga.

Como muchos otros directores, este genio de mitades del siglo XX, recurre a las matemáticas para realzar y enfatizar mucho más sus sobresalientes películas.

BIBLIOGRAFÍA:

http://www.filmaffinity.com/es/search.php?stype=director&stext=Stanley+Kubrick

http://www.cribeo.com/ocio_y_cultura/2121/stanley-kubrick-y-su-pasion-por-el-punto-de-fuga

http://catedu.es/matematicas_mundo/CINE/cine1.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/Punto_de_fuga

PROBLEMA CON LAS HIPÉRBOLAS

Corrigiendo un ejercicio en clase surgió una duda sobre si dos hipérbolas cuyas asíntotas son las mismas, son iguales. Las hipérbolas eran   X² – 4y² = 1 y X² – 4y² = 4, y sus ecuaciones reducidas 
 X² – y²/(1/4) = 1 y X²/4 – y² = 1

Los vértices de la primera hipérbola son A(1,0) y A'(-1,0) y sus focos son F (√3 /2,0) y F' (-√3 /2,0).

Los vértices de la segunda hipérbola son B(1,0) y B'(-1,0) y sus focos son G (√5,0) y G' (-√5,0).

Pero las asíntotas de ambas son iguales: y = 1/2 ; y=-1/2.

Dibujando las hipérbolas con la aplicación GeoGebra se puede comprobar que aunque las dos hipérbolas tienen las mismas asíntotas, al tener los focos y los vértices distintos las hipérbolas son distintas.

Una noticia sobre el sistema binario

El artículo "Un sistema binario inventado en Polinesia siglos antes de Leibnitz" publicado en el periódico El País ha sido escrito por Javier Sampedro, un científico y periodista español nacido en Madrid en 1960 que se doctoró en genética y biología molecular en varios centros españoles y desde 1995 publica artículos de divulgación científica en El País. Tambien es autor de 3 libros, en los cuales ha recopilado noticias suyas.

Retrato del periodista José Luis Sampedro

El científico y matemático al cual se le atribuye el mayor mérito en cuanto al descubrimiento y desarrollo del sistema binario es Gottfried Leibniz. Nació en Leipzig el 1 de julio de 1646. Fue uno de los pensadores de los siglos XVII y XVIII y se le reconoce como  " El genio universal". Leibniz fue importante en las áreas de metafísica, epistemología, lógica, filosofía de la religión, matemáticas, física, geología e historia.
Entre sus inventos destacan el cálculo infinitesimal independientemente de Newton y el sistema binario, muy útil en la actualidad. Durante su vida publicó muchos panfletos y artículos académicos. En matemáticas, además de los anteriores inventos también fue el primero en utilizar el término "analysis situs", posteriormente llamado topología.

Retrato de Leibniz

El sistema binario es un sistema de numeración  en el que los números se representan utilizando solamente las cifras 0 y 1. La primera descripción de este sistema de numeración se dio en el siglo III a. C. y ha ido evolucionando a lo largo de la historia hasta llegar al complejo sistema binario actual. Un hecho revelante fue la publicación del artículo "Explication de l'Arithméthique Binaire" de Leibniz en el que documenta acerca de los símbolos binarios usados por matemáticos chinos anteriormente y explicando el complejo funcionamiento. Se representa por secuencias de bits o dígitos binarios que equivalen a los valores numéricos propios de las máquinas en que se utilizan.
Este sistema se aplica a todos los microprocesadores con el objetivo de almacenar información como imágenes, textos o programas. También se aplica en telecomunicaciones y redes.

Maquina binaria ideada por Leibniz

El artículo publicado en El País habla sobre el origen del sistema binario varios siglos antes del estudio de Leibniz.
Los habitantes de Mangareva inventaron un sistema binario basado en potencias de 2, al igual que el nuestro se basa en las de 10, para contabilizar bienes comerciales ( pescados, cocos, pulpos...) de manera que a cada elemento le asignaron un número resultado de una potencia de 2, facilitando las operaciones aritméticas fundamentales. Por ejemplo: tortugas (1), pescado (2), cocos (4) y pulpo (8). De esta manera saben que un coco es el doble de un pescado y la mitad de un pulpo.
Este sistema es tan eficiente que también afectó a la lengua pero actualmente está en extinción por la escasa población de la isla.
 Enlace a la noticia

Me parece admirable cómo hace tantos siglos pudiesen desarrollar un sistema numérico tan complejo y aplicarlo para obtener su propio beneficio. Creo que nosotros también deberíamos seguir un sistema similar a este porque es más cómodo y sencillo que el decimal que usamos nosotros.

Bibliografía:
http://es.wikipedia.org/wiki/Javier_Sampedro
http://www.astromia.com/biografias/leibniz.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibniz
http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_binario
http://platea.pntic.mec.es/~lgonzale/tic/binarios/numeracion.html#Sistema_de_numeraci%F3n_binario.
http://es.wikipedia.org/wiki/Leibniz

Cónicas en el mundo diario.

La Estrella Pitagórica y Los Números Irracionales.

El pentágono regular o pentagrama místico es una de las figuras históricas más reconocidas matemáticamente. Si trazas sus diagonales o prolongas su lados obtienes el pentagrama pitagórico, la figura que los seguidores de Pitágoras utilizaban en el siglo VI a. de C. Para ellos el cinco era el número de la armonía en la salud y en la belleza, era la combinación perfecta de un número par (dos) y uno impar (tres).

Otra de las propiedades del Pentagrama, era su «unicursalidad»: «la estrella pentagonal puede ser trazada por el movimiento de un punto sin pasar dos veces por el mismo lado». La estrella contiene el rectángulo áureo infinidad de veces.

Los pitagóricos pensaban que el mundo estaba configurado según un orden numérico, donde sólo tenían cabida los números fraccionarios. La casualidad hizo que en su propio símbolo se encontrara un número raro: el número de oro. La relación entre la diagonal del pentágono y su lado es el número de oro.

 

Los segmentos AF, AF´ y AC están en proporción áurea.

Quizás sea el número de oro el primer número irracional que conocieron los griegos. Cuando los pitagóricos descubrieron que existían números irracionales, es decir, que no podían escribirse como cociente de dos números enteros, quedaron consternados, ya que este hecho rompía muchos de sus teorías filosóficas.

Alguna de la aplicaciones del número de oro en la realidad:

• Un ejemplo claro está en las tarjetas de crédito. Si medimos sus proporciones (medida del largo y del ancho): os dará unas cantidades de 86  y 54. Si dividís ambas cantidades os saldrá un número muy parecido al número áureo.
• Otro ejemplo sería el paquete de tabaco.
• La relación entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo.
• La relación entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos.
• La relación entre el diámetro de la boca y el de la nariz.

La cuadratura del círculo es el problema matemático, irresoluble de geometría, que consistente en hallar, con sólo regla y compás, un cuadrado que posea un área que sea igual a la de un círculo dado. Este problema fue un gran confusión para los pitagóricos ya que lo intentaron resolver pero no consiguieron lograrlo. 

Su resolución implica trabajar con el número PI, un número irracional y trascendente. Con esto quedó demostrada la imposibilidad de resolver este problema por métodos geométricos y la importancia de los números irracionales en numerosas aplicaciones matemáticas.

Bibliografía:

-http://es.wikipedia.org/wiki/Pentagrama_(geometr%C3%ADa)

-http://www.mat.ucm.es/catedramdeguzman/old/08sabormat/experimentgeometria/laspi.htm

-http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%C3%A1ureo

-http://www.monografias.com/trabajos75/numero-aureo/numero-aureo.shtml

-http://minervaserranocantero.wordpress.com/matematicas-y-geometria/

-http://webs.adam.es/rllorens/pi_cuadr02.htm

http://www.colegiosansaturio.com/deptomatesweb/SANSAMATES/Trabajos/cuadrataura_circulo_Rossignoli/historia.html